Factorización de Polinomios Cuadráticos

Estrategias pedagógicas para el desarrollo del pensamiento

A continuación comparto con mis lectores, una estrategia y un material que ha permitido que mis estudiantes se apropien y le den sentido al concepto de factorización desde el punto de vista geométrico y algebraico, este material es específico para polinomios cuadráticos. A pesar de que el material y la estrategia fue desarrollado desde hace muchos años, las evidencia fotográficas que verán, la actividad y el certificado hacen parte de un registro de observación enviado al SENA como trabajo final del curso: Estrategias pedagógicas para el desarrollo del pensamiento. El curso con el SENA lo desarrollé en el 2009 en la Institución Educativa de Rozo, actualmente me encuentro en la Institución Educativa Santa Rosa en Santiago de Cali. La estrategia continúa perfeccionándose y mas adelante veremos avances significativos en este blog, para que los docentes y estudiantes la consideren como un elemento indispensable en el momento de enseñar y aprender la factorización de polinomios.

PRESENTACIÓN

El autor Jaime E. Barros expone claramente su concepción de estrategia pedagógica, en la cual se involucran diferentes factores internos y externos del aprendizaje, al igual que la combinación de diferentes técnicas de formación. Atendiendo a los documentos y considerando cada una de las técnicas planteadas, además de la praxis pedagógica que he venido desarrollando en las diferentes instituciones, intentaré demarcar las estrategias pedagógicas que emplee para este trabajo final del curso: Estrategias pedagógicas para el desarrollo del pensamiento.

Desde el año 2008 me encuentro acompañando los procesos pedagógicos, en el área de matemáticas en la Institución Educativa de Rozo, corregimiento de Palmira Valle. Desde un inicio se observó que la apatía hacia las matemáticas es bastante notoria, en general, no le encuentran un significado especial a las temáticas desarrolladas y con frecuencia comentan que la carrera universitaria que seguirán después de terminar el grado once, será una carrera en la cual no necesiten ver matemáticas.

El diagnóstico propio y los resultados que reflejan las pruebas Saber e Icfes son bastante críticos, la desmotivación y la fobia que los estudiantes demuestran hacia las matemáticas son bien marcadas. Pero siempre he pensado “no hay que llorar sobre la leche derramada”, por el contrario, hay que realizar acciones concretas para que los jóvenes se motiven y vean que las matemáticas pueden ser aprendida de una manera más amable, ser significativas, permitiendo desarrollar o potenciar en ellos, los pensamientos matemáticos, las habilidades, las destrezas y las competencias que se requieren en matemáticas.

EL MATERIAL:

FACTORAMA: El material consta de tres tipos de fichas:

Ficha 1: Representa un cuadrado de lado 1, luego su área es AREA = 1 x 1 = 1

Ficha 2: Representa un rectángulo de lados 1 y x, luego su área es AREA = 1 . x = x

Ficha 3: Representa un cuadrado de lado x, luego su área es AREA = x . x = x²

Observaciones: La relación entre la ficha 1 y la ficha 2 es que ambas tienen el mismo ancho de 1 unidad, mientras que la relación entre la ficha 2 y la ficha 3 es que ambas tienen la misma altura x.

FUNCIONALIDAD DEL MATERIAL:

Para factorizar un polinomio cuadrático dado, procederemos a seleccionar la cantidad de fichas de cada tipo, dependiendo del polinomio dado, y posteriormente construiremos formas rectangulares o cuadradas, de acuerdo a unas reglas de construcción. Por ejemplo si nuestro polinomio a factorizar fuese 3x² + 7x + 4, tendríamos que seleccionar la cantidad de fichas:

Cantidad de fichas:

Ficha 1: Cuatro

Ficha 2: Siete

Ficha 3: Tres

El siguiente paso consiste en movilizar las fichas ubicando primero las tres Ficha 3 en forma lineal o cuadrada. Posteriormente ubicamos las siete Ficha 2, a la derecha y abajo, tratando de que dejar el espacio exacto para ubicar las cuatro Ficha 1.

La factorización del polinomio 3x² + 7x + 4 corresponde con el área del rectángulo anterior, la cual se obtiene multiplicando la base por la altura. Se observa que la base es 3x + 4 mientras que la altura es x + 1. Es decir que la factorización será:

3x² + 7x + 4 = ( 3x + 4 ).( x + 1 )

Otro ejemplo lo podemos ver en la siguiente foto, donde se puede observar el polinomio 5x² + 12x + 4

La configuración correcta para obtener la factorización del polinomio anterior será el siguiente rectángulo:

Y finalmente la factorización la obtenemos multiplicando la base 5x + 2 y la altura x + 2, es decir que la factorización será:

5x² + 12x + 4 = ( 5x + 2 ).( x + 2 )

Finalmente, si la configuración obtenida es un cuadrado, entonces el polinomio obtenido es un TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. Un ejemplo de lo anterior es el siguiente polinomio:

El polinomio anterior corresponde a 4x² + 12x + 9 y su factorización es:

4x² + 12x + 9 = ( 2x + 3 ).( 2x + 3 ) que se puede representar como ( 2x + 3 )²

LA EXPERIENCIA:

Siempre me ha gusta dinamizar las clases buscando que mis estudiantes aprendan jugando, construyendo y que las actividades lúdicas siempre estén presentes en el aula de clase. Por ello, cada día estoy en la tarea de buscar y diseñar material lúdico que ligado al trabajo en clase me permita desarrollar o potenciar pensamiento matemático. La experiencia que les voy a compartir está acompañada de dos materiales que he diseñado. El primer lo he llamado FACTORAMA y va acompañado de un DOMINÓ, este último se inicia en clase y debe ser terminado en la casa.

En el inicio de la clase le doy la bienvenida a los estudiantes, entrego una guía de estudio a cada estudiante y procedimos a realizar una lectura global. En esta guía elaboré un esquema categórico que les permitiera una mejor asimilación del concepto y de las diferentes técnicas de factorización, posteriormente explico y redundo los aspectos introductorios y conceptuales, las competencias y los logros a desarrollar.

Al terminar la exposición y la ejercitación en el tablero, procedí a explicar la dinámica de la actividad y el trabajo en grupo que debían desarrollar. Una vez formados los grupos, se enumeraron y se procedió a llenar una bolsa con los integrantes de los grupos, luego, al azar, obtuve un papel con el número del grupo que debía salir a realizar la construcción o factorización del polinomio. Los tiempos obtenidos por cada grupo, se anotaron en el tablero y la idea era desarrollar la tarea asignada en el menor tiempo posible, proporcionando la construcción geométrica y la factorización algebraica del polinomio asignado.

Es importante observar que todos los estudiantes tenían clara la consigna de la actividad, comprendían lo que debían hacer pero la estrategia o el camino que seguían, no permitía encontrar la solución rápidamente, sin embargo se les daba tiempo para que la realizaran y finalmente desarrollaran la actividad. Fue importante observar la participación de cada uno de los integrantes de los grupos, cada uno proponía una solución más o menos acertada sobre la tarea antes de llevarla a cabo. Al terminar una ronda se realizaba inmediatamente la retroalimentación de las estrategias empleadas por cada uno de los grupos, lo cual permitió enriquecer el trabajo individual y grupal.

A medida que trascurrió el tiempo, las habilidades y estrategias adquiridas por los estudiantes fueron evidentes, algunos grupos lograron desarrollar la tarea asignada más rápido que otros, sin embargo los resultados mejoraban, por ello, el grado de dificultad en la asignación de las tareas se incrementó.

La dinámica de la actividad permitió integración grupal, participación activa de todos los estudiantes, desarrollo y ejecución de estrategias, evaluación grupal e individual, respeto por el trabajo del compañero, deseo de participación y búsqueda de oportunidad para mejorar la actividad

Una vez terminada la primera parte de la actividad, es decir donde cada grupo ha realizado la tarea en el tiempo registrado, se procede a realizar la disertación de cada uno de los resultados de los grupos, de las estrategias empleadas, en general de su sentir en el desarrollo de la actividad propuesta. Se recibieron muy buenos comentarios incluso de aquellos estudiantes que generalmente son apáticos al trabajo en clase. La sorpresa del grupo fue que los mejores registros de tiempo se obtuvieron por los estudiantes más indisciplinados y apáticos. Después de la discusión, procedemos a realizar la segunda ronda y definitivamente todos los grupos mejoraron sus resultados. En este sentido se identifica el desarrollo de un pensamiento sistémico.

RESULTADOS OBTENIDOS

Realmente los resultados obtenidos son muy esperanzadores, apropiarse de cada una de las técnicas para el desarrollo del pensamiento permitió no tanto adherirme a una u otra solamente, sino enriquecer el trabajo que he venido desarrollando en clase. Al terminar la actividad se escuchan comentarios muy positivos de mis estudiantes, tanto en el cumplimiento de los logros propuestos, así como de la buena aceptación y gusto por la actividad. En el transcurso de la próxima semana realizaremos la puesta en correspondencia del dominó asignado, estoy seguro que los resultados serán muy buenos.