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domingo, 2 de marzo de 2014

TEOREMA DE PITÁGORAS, MÁS QUE TRIÁNGULOS...

 Representación de un ejemplo
del teorema de
Pitágoras con papiroflexia modular
Cordial saludo amigos lectores. Muchas gracias por visitarme. El día de hoy compartiré mi experiencia y recomendaciones, en relación a uno de los teoremas o hallazgos más importantes de la geometría euclidiana y por qué no decirlo, de la historia de la humanidad: El Famoso Teorema de Pitágoras. Sobre este grandioso descubrimiento hay muchos aspectos por abordar, pero en esta ocasión me remitiré específicamente a su uso y recomendaciones al abordarlo en el contexto escolar.

Como docente de matemáticas de la educación básica secundaria y media en Colombia, me parece bastante curioso e inquietante que el estudio y aprendizaje de este teorema se inicie solamente desde la educación básica secundaria en las instituciones educativas. Lo mas preocupante es la poca comprensión que tienen nuestros estudiantes, en cuanto a su uso e importancia en la resolución de situaciones problemas y de sus implicaciones para otros saberes. Es posible que una de las razones principales de este descuido radique en la interpretación que hacemos los docentes, con respecto a las orientaciones emanadas desde el Ministerio de Educación Nacional. De acuerdo a los estándares básicos de competencias, en los conjuntos de grados octavos y novenos como estudiante "Al terminar el grado noveno...Reconozco y contrasto propiedades y relaciones geométricas utilizadas en demostración de teoremas básicos (Pitágoras y Tales)" (MEN, 2006). A pesar de que en ningún momento se menciona el aprendizaje del teorema a partir del grado octavo y noveno, prácticamente no se orienta desde la educación básica primaria y en la secundaria su dificultad en la compresión es evidente.

A mis amigos lectores les planteo las siguientes preguntas:

¿Recuerdas el teorema de Pitágoras?

¿Conoces realmente lo que significa y las implicaciones del teorema de Pitágoras?

¿Que sucedería con el saber matemático y otros saberes sin el teorema de Pitágoras?

¿Será que éste y otros saberes matemáticos pueden ser aprendidos desde la educación básica primaria? 

Una idea para dar una respuesta con respecto al significado del teorema de Pitágoras es remitirnos a Wikipedia, en la cual podemos encontrar que "Es la proposición mas conocida entre las que tienen nombre propio en la matemática...En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos" Teorema de Pitágoras. (2018, 19 de febrero). Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 03:37, febrero 21, 2018 desde https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_de_Pit%C3%A1goras&oldid=105695801. Tal vez no prefiera una definición textual, en ocasiones en mejor una figura o un esquema:
Esquema del teorema de Pitágoras
Tranquilos. No importa. En caso de no tener respuestas o referentes a las preguntas anteriores, no debe inquietarlos. La idea central de esta publicación es proponer unas actividades que permitan un acercamiento al concepto y lograr comprender este teorema de una manera didáctica. Una idea mas ambiciosa sería pensar en la posibilidad de que nuestros estudiantes de la educación básica primaria se aproximaran a cierta comprensión del concepto a través de diferentes situaciones o materiales didácticos concretos. ¡Sería genial!   

En el título de esta publicación he escrito "más que triángulos", porque estamos acostumbrados a que el teorema de Pitágoras hace referencia, principalmente, a triángulos rectángulos, pero este teorema alude inicialmente a una figura geométrica plana, que en el momento de explicarlo a nuestros estudiantes, en el salón de clases, se nos olvida dibujar: cuadrados, específicamente a la comparación entre las áreas de dos cuadrados en relación a un tercer cuadrado. Pero el asunto es mas interesante, porque existe una generalización de este teorema que hace referencia a la relación entre las áreas de polígonos regulares. Es precisamente esta última aproximación, a través de la comparación entre las áreas de los polígonos regulares, la que tiene poco protagonismo en las aulas de las clases de matemáticas.

Para iniciar en la comprensión, vamos a realizar la primera actividad, espero que se animen a realizarla de acuerdo a las indicaciones. ¡Manos a la obra!

Actividad 1:

Para explicar la primera actividad, es necesario tener los siguientes elementos:
  • Descargar la plantilla en pdf presionando el siguiente botón:
  • Imprimir el archivo. Puedes emplear hojas tamaño oficio o tamaño A4
  • La actividad es interesante cuando se trabaja en grupo, se recomienda grupos de dos o tres estudiantes. Entregar a cada grupo un par de cuadrados de las plantillas. En esta plantilla hay cuatro pares de cuadrados. Por ejemplo al primer grupo se le entregar el siguiente par de cuadrados:
       
Deben recortar los dos cuadrados


Explicación de la actividad:

A continuación voy a explicar el procedimiento con un par de cuadrados:

Antes de iniciar es importante reforzar el concepto de área. Recordemos que el área de una figura plana es una comparación entre una unidad que hemos establecido como patrón de medida, en nuestro caso un cuadrado pequeñito y cada uno de los cuadrados grandes que fueron entregados en la plantilla.

Tomamos un par de cuadrados, en el ejemplo tomaré un cuadrado de área 9 y otro de área 16. Le preguntamos a nuestros estudiantes si es posible, recortando con tijeras las unidades de uno o los dos cuadrados, formar un cuadrado obviamente mas grande. Debemos indicarles que en un cuadrado la base debe ser igual a la altura:
Para los dos cuadrados anteriores, vamos a recortar solamente el primer cuadrado y distribuimos las unidades adyacentes en la base y al lado derecho del cuadrado de área 16. Prácticamente es armar un rompecabezas. Recuerde que también pueden recortar los dos cuadrados.
Finalmente mostramos que fue posible formar el tercer cuadrado de área 25, que resulta igualmente de sumar 9 + 16. Indicar siempre que en el cuadrado, la base debe ser igual a la altura, es común que se les olvide y construyan rectángulos.
Una vez terminado el ejemplo, procedemos a que nuestros estudiantes formen el tercer cuadrado con el material que se les entregó en la plantilla. Generalmente cuando he realizado la actividad, no hay dificultad para los estudiantes, pero la consigna de la actividad debe ser bien explicada y resolver las dudas que ellos manifiesten, sin resolverles el problema. Al realizar la puesta en correspondencia de las actividades procedemos a plantear la siguiente pregunta:

¿Será que siempre es posible, dados dos cuadrados,  
formar el tercer cuadrado empleando este procedimiento?

Les indicamos que intenten realizar el procedimiento con el siguiente par de cuadrados:

   Área = 4                         Área = 9

Recordemos que las figuras deben ser cuadrados. Observemos las reacciones. Por mas que busquen formar diversas configuraciones o movimiento de las unidades, resulta imposible para ellos, armar el tercer cuadrado cuya área equivale a la suma de las áreas de los dos cuadrados anteriores, en este caso 13 unidades. Es posible que algunos expongan configuraciones que no son cuadrados, otros recortarán las unidades, pero este procedimiento no está permitido en el desarrollo de la actividad, porque cortar estas unidades nos daría una respuesta desprovista de precisión, exactitud y no es el objetivo.

Pero entonces, ¿Será que existe un método que me permita encontrar ó construir el cuadrado cuya área sea la suma de los dos cuadrados anteriores?

La respuesta es . Es el famoso Teorema de Pitágoras. El procedimiento es sencillo y consiste simplemente en unir los dos cuadrados en uno de sus vértices formando entre ellos un ángulo recto, es decir de 90 grados. Veamos la Figura 1.

Posteriormente unimos los vértices superiores derechos mediante una linea recta. (Ver figura 2)


                                                 
                                                                                                                                   Figura 1.           
Finalmente construimos con escuadra un cuadrado sobre esta línea (roja). La construcción resultante sería:


                                                                  
                                                        Figura 2.

Este nuevo cuadrado obtenido (linea roja) será el cuadrado que buscamos y exactamente tendrá el área de 13 unidades. Este método es mas sencillo que recortar con tijeras las unidades y es exacto.

Ya sabemos que el cuadrado tiene de área 13 unidades, nos preguntamos, ¿Cuál es la medida del lado de este nuevo cuadrado?
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  Figura 3.
Observemos intuitivamente en la siguiente tabla que:

 Figura
 Área
 Lado
 


 4

2
 



9


3
 



 16



 4
 



 25



 5
 




 36




6

Según la tabla anterior, ¿Cual es la operación matemática que nos permite obtener la medida del lado de un cuadrado, dada su área?

Efectivamente, esta operación es la RAÍZ CUADRADA del área del cuadrado. Por ejemplo, si el área es 36, entonces la medida del lado será  cuyo resultado es 6, que corresponde a la medida del lado del cuadrado.


Es decir que si el cuadrado tiene de área 13 unidades, entonces la medida del lado de este cuadrado seráes decir, aproximadamente 3,6. 
La recomendación es que cuando nos enfrentemos al teorema de Pitágoras realicemos siempre la construcción de los tres cuadrado y elaboremos los procesos en la misma construcción. Al resolver un problema mediante este esquema, evidentemente se observa que los cuadrados que se deben sumar son los que forman el ángulo recto. Es importante prestar atención al tamaño de los cuadrados, en ocasiones, algunos estudiantes interiorizan que deben sumar dos cuadrados para obtener un tercer cuadrado, pero se les dificulta tener certeza sobre los cuadrados que se deben sumar. En este caso, se les orienta para que visualicen el tamaño de los cuadrados, es decir que la suma de las áreas de los dos cuadrados pequeños, obviamente debe dar como resultado el área del cuadrado grande. Esta variable en la visualización es una herramienta que les permitirá tener un punto de referencia en la resolución de situaciones que involucren el empleo de este teorema.


Autoevaluación:

Como una autoevaluación, proporciono las siguientes preguntas que le permitirán verificar la asimilación de conceptos de sus estudiantes. Discuta con sus ellos la solución.



















Recurso educativo:

En el siguiente recurso educativo encontrará una situación problema y tres vídeos de mi autoría publicados en mi canal de Youtube, que le permitirá afianzar, reforzar y tener su propia postura frente a las recomendaciones planteadas en esta publicación. Les solicito el favor de suscribirse al canal. Muchas gracias.



Situación: Resolución pregunta pruebas saber Teorema de Pitágoras.

Parte a.


Parte b.

Parte c.
 



BIBLIOGRAFÍA


  • Ministerio de Educación Nacional. Estándares Básicos de Competencias en Lenguaje, Matemáticas, Ciencias y Ciudadanas. Bogotá, 2006.
  • Ministerio de Educación Nacional. Lineamientos Curriculares de Matemáticas. Bogotá, 1998.
  • Ministerio de Educación Nacional. Vamos a aprender Matemáticas. Bogotá, 2017.
  • Boyer, Carl B. Historia de la matemática. Madrid: Alianza, 2007.
  • Duval, R. (2004). Semiosis y pensamiento humano. Registros semióticos y aprendizajes intelectuales. Peter Lang-Universidad del Valle. Cali.
  • Ministerio de Educación Nacional. Nuevas tecnologías y currículo de matemática. Serie Lineamientos Curriculares. Punto EXE Editores. Bogotá, 1999.

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TEOREMA DE PITÁGORAS, MÁS QUE TRIÁNGULOS... 
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